Bilan 2 - Calculer avec des puissances

Notation particulièrement astucieuse et puissante qui s'expose à être très utilisée. La puissance s'exprime par le petit nombre en haut à droite, comme avec 210 , qui vaut 2 multiplié dix fois par lui-même. Notez que 210 commence par 10 (un bon moyen pour le retenir).   À défaut de pouvoir mettre un exposant, on note 210 par 2^10  ou encore 2 E10.   Vous connaissez déjà des puissances: l'aire du carré est égale à c² = c x c  (c au carré ou c à la puissance 2)

 

 

 

Math-métaphysique

 

 

APPROCHE

Puissances de 10   10 1 suivi de 1 zéro 10 1   100 1 suivi de 2 zéros 10 2   1000 1 suivi de 3 zéros 10 3   100 … 0 1 suivi de n zéros 10 n   Autre façon de voir   10 = 10 1 fois 10 10 1 100 = 10 x 10 2 fois 10 par lui-même 10 2 1000 = 10 x 10 x 10 3 fois 10 par lui-même 10 3 100 … 0 = 10 x 10 x …..x 10 n fois 10 par lui-même 10 n   Puissances de 2   2 = 2 1 fois 2 2 1 4 = 2 x 2 2 fois 2 par lui-même 2 2 8 = 2 x 2 x 2 3 fois 2 par lui-même 2 3   = 2 x 2 x …..x 2 n fois 2 par lui-même 2 n   Notation Dans 2 n , n est appelé l'exposant. On lit 2 exposant n ou, plus classiquement,  2 puissance n.

 

 

 

EXPÉRIENCES avec les PUISSANCES de 2

Illustration montrant  la progression des puissances de 2   On montre les valeurs successives des puissances de 2:   Remarquez d'abord que: produit des nombres:           2   x 4   = 8 sommes des exposants:     2 1 x 2 2 = 2 1+2 = 23     Courbe On dessine la courbe qui rejoint ces points:     Question Si 23 = 8 et 24 =16, on est alors tenté de se demander ce qu'il se passe entre les deux. Est-ce qu'il existe, par exemple:  une puissance 2 3,5 ?  une puissance de 2 qui correspond 12 ?   Réponse: Oui ! On généralise ce qui n'était qu'une notation en une fonction. On obtient, par exemple:  2 3,5 = 11,3  12 = 2 3,585   Généralisation En fait, on peut prendre la puissance quelconque d'un nombre quelconque a b.    10 3,5     = 3162,2…      2,5 3,5  = 24,7…    12 21      = 460 05119 90936 97014 66112 = 0,46 … 10 23  123 321     = 0,72 … 10 671   Ça grimpe vite ! C'est justement un des intérêts de cette notation. Nommer de très grands nombres à l'aide de nombres plus courts.

 

 

Expérience étonnante sur quelques puissances
Petites valeurs de n Notez la progression fulgurante de n3. Alors que n2 et 2n se disputent au départ, c'est 2n qui l'emporte.	Grandes valeurs de n On a vu que n3 est parti sur les chapeaux de roue. Mais, c'est 2n qui l'emporte sur la distance.
Conclusion: attention à bien analyser une fonction avant de conclure.

 

 

 

 

PROPRIÉTÉS

Fondamentale   Le produit des puissances (x et y) d'un nombre (a) est égale à la puissance somme (x + y) de ce nombre: ax . ay = ax + y   En effet, par exemple: a2 = a . a a3 = a . a . a a2 . a3 = a .a . a. a . a = a5 = a 2 + 3   Exemples d'applications   a x . a y . a z = a x + y + z   a 4 . a 2 . a 5      = a 4 + 2 + 5   = a 11   a x = a x + 0 = a x . a 0 => a 0 = 1 a n . a -n = a n – n = a 0 = 1 => a –n = 1 / a n   Autres formules   À bien noter: Une puissance négative est une puissance positive au dénominateur: 2-2 = 1 / 22 et Une puissance fractionnaire est une racine: 21/2 = .     Exemples 3 8 / 3 5          = 3 8 - 5 = 3 3 5 3 / 5 6 = 5 3 - 6 = 5 -3   ( 5 3 ) 2 = 5 3 . 2   = 5 6 ( 5 . a ) 2 = 5 2 . a 2 = 125 . a 2 ( 5 / 2 ) 5 = 5 5 / 2 5 = 3125 / 32 2 -3 = 1 / 2 3 = 1/ 8 8 -1 / 3 = 1 / 8 1/3 = 1/ (23) 1/3 = 1/ 23/3 = 1/2   Valeurs a 0 100 = = 1 1 a 1 101 = = a 10     ▲Prudence avec les nombres négatifs▲   a (x . y)  = (a x ) y   Pour que la formule soit exacte, il faut que a soit positif. En effet, contre-exemple avec a = (-1):     (-1) (2 . 1/2)  = (-1) 1    = - 1 ( (-1) 2 )  1/2  = ( 1 ) 1/2  =   1

 

Notation – Historique

On doit à John Wallis la notation avec les exposants:

Merci à Lionel Watrin

 

 Le zéro qui donne 1

Comment montrer logiquement que 20  = 1, comme a0  = 1

 

 

Somme de chiffres – Exemple d'application
Problème Calculez la somme des chiffres de ce produit: 52015 x 22018 Indice Les nombre 5 et 2 font penser immédiatement à 2 x 5 = 10.   Propriétés utilisées 2a+b = 2a x 2b 5a x 2a = 10a	Calcul   52015 x 22018       = 52015 x 22015 x 23       = 102015 x 23       = 100…02015 x 8       = 800…02015   Somme des chiffres S = 8 + 0 + 0 + … = 8
Notez que l'on trouverait le même résultat avec ce cas simple ou sa généralisation:     Exemple a = 2, k = 10 52 x 212 = 102 400 S = 1 + 0 + 2 + 4 = 7	Cas simple 55 x 28 = 105 x 23 => S = 8 En effet: 55 x 28 = 800 000   Généralisation 5a x 2a+3 = 10a x 23 => S = 8 5a x 2a+k = 10a x 2k => S = somme des chiffres de 2k

 

 

Remarques sur la forme des puissances

Il n'y a pas de carré de la forme 3n – 1.       Il n'y a pas de nombre triangulaire de la forme 3n – 1.       Tout cube est de la forme 9n + t avec t = -1 , 0 ou 1.       Le reste de la division par 7 d'un cube est 0, 1 ou 6.       Si un nombre est à la fois carré et cube, il est de la forme 7n ou 7n + 1.       Quels que soient a et x, ax + a et ax – a sont toujours pairs.       Toute puissance paire d'un nombre impair est de la forme 8r + 1.       Toute puissance 12e d'un nombre est de la forme 13n ou 13n + 1.       Toute puissance 8e d'un nombre est de la forme 17n + t avec t = -1, 0 ou 1.

 

 

Exemples de calculs simples
(La puissance zéro met à 1)   (La puissance 1 laisse en l'état)                           Attention Se souvenir que puissance k veut dire que le produit est répété k fois.

 

Transformation avec les produits du nombre ou de l'exposant   86 = 26 x 46 = 26 x 26 x 26     = 83 x 83 = 23 x 43 x 23 x 43 = 23 x 23 x 23 x 23 x 23 x 23     = 262 144   Transformation avec le double du nombre ou de l'exposant   Ex:   36   =      93 = 729          76   =   493 = 117 649        1010 = 1005 = 10 000 000 000

 

 

Exposants FRACTIONNAIRES

Demi-mesure … Maintenant que l'on sait jouer avec les puissances, faisons la même expérience avec les fractions. Exprimons " 2 " de deux manières différentes (première ligne noire et dernière ligne bleue de chaque tableau):     La puissance fractionnaire est une racine.     Exemples de calcul   Méthode 1 Méthode 2 2 1,5 = 2 3 / 2 (2 1/2 ) 3 (2 ) 3 (1,414…) 3 2,828… 2 1,5 = 2 3 / 2  ( 2 3 )  8 2,828…   Méthode 1 Méthode 2 2 1,5 . 2 2,5 = 2 3 / 2 . 2 5 / 2 (2 ) 3 . (2 ) 5 (2 ) 3 + 5 (2 ) 8 24 16 2 1,5 . 2 2,5 = 2 1.5 + 2.5 2 4 16   Notez, par exemple, la multitude de possibilités pour faire 16: 16 = 24   21 . 23 = 2 x 8 21,5 . 22,5 = 2,828…  x 5,656… 22 . 22 = 4 x 4 21,821 . 22,179 = 3,533… x 4,528… 20,333… . 23,666… = 1,259… x 12,699… …   2 a . 2 b avec a + b = 4

 

 

Puissances fractionnaires ou radicaux ?
Voici un calcul exécuté sous les deux formes. Dans les cas les plus complexes, la forme fractionnaire est plus pratique.    Exposants fractionnaires – Évaluez b   Radicaux Bien retenir     Exposant négatifs                 DIVISIONS     Exposants fractionnaires     RACINES   Humour

 

 

 Calcul de puissance sur la calculette

 

CALCULS – Exemples

Mise en bouche   Exprimez 44, 88 , et 1616 selon les puissances de 2, 4, 8 …     Égal 1 Énoncé Solution Simplifiez 2 n . 4 -2n . 8 n On évalue 2 n . 4 -2n . 8 n = 2 n . (2²) -2n . (23) n = 2 n . 2 -4n . 2 3n = 2 n - 4n + 3n = 2 0 = 1 Énoncé Solution Si a = b x b = c y c = a z Montrez que x.y.z = 1 On évalue a = a1 = b x = (c y ) x = [(a z ) y ] x = a x . y . z Conclusion x.y.z = 1 Énoncé Solution Évaluez (a x )y - z . (a y )z - x . (a z )x - y On développe (a x )y - z . (a y )z - x . (a z )x - y = a xy - xz . a yz -yx  . a zx - zy = a xy - xz + yz -yx + zx - zy = a 0 = 1   Comparaisons Énoncé Solution Comparez Sans calculer les valeurs 43 65 Évaluons chaque terme 43 = 3 1/4 = 3 3/12 = 1227 65 = 5 1/6 = 5 2/12 = 1225 Conclusion 1227 > 1225 43 > 65 Pour vérification 43 = 1, 316… le plus grand 65 = 1, 307… Énoncé Solution Comparez Sans calculer les valeurs 310   5 Évaluons chaque terme 310 = 10 1/3 = 10 2/6 = 6100 5 = 5 1/2 = 5 3/6 = 6125 Conclusion 6100 < 6125 310 < 5 Pour vérification 310 = 2, 15… 5 = 2, 23 le plus grand

 

Exercice bonus

Valeur de  √(2^4 + 8^(-5)) / √(2^1 + 8^(-6))

 

Calcul de cette expression pas à pas

Mettant à contributions les principales règles de composition des puissances

 

À noter ce rapprochement entre fractions – Étonnant!

 

 

 

Exposant décimal
Exemple: calculez 100,3 La calculette donne un nombre proche de 2.	100,3  = 1,9952623149…
Interprétation En fait: 0,3 = 3/10   Nous cherchons donc un nombre tel que multiplié dix fois par lui-même, il donne 1000.   Sachant que 210 = 1024, on sait que le nombre cherché est légèrement inférieur à 2.	Au numérateur, c'est une puissance. Au dénominateur, c'est une racine.
Avec un tableur On procède par dichotomie. Deux lignes de calcul, on ajoute des chiffres un par un en maintenant les résultats de part et d'autre de 1000.	En D1: instruction puissance 10 de C1 En D2: instruction puissance 10 de C2

 

Comment calculer la valeur? On passe par les logarithmes, puis son inverse, l'exponentielle	x = 100,3   log(x) = 0,3 log(10)
Comment calculer cette valeur? Avec le développement en séries	Avec x = 0,69077
Calculs   Il faut calculer jusqu'au dixième terme pour obtenir 10 chiffres significatifs en conservant 12 décimales tout le long  du calcul. Vive la calculette.	1,   1,690775528   2,   1,929360943   3,   1,984297265   4,   1,993784432   5,   1,995095133   6,   1,995246033   7,   1,995260924   8,   1,995262210   9,   1,995262307 10,   1,995262314

 

Autre exemple

Quelle est la valeur de:			20,1 = ?
Nombre rationnel* en fraction			0,1 = 1/10
Retour			20,1 = 21/10
Somme des exposants => produit	2 = 21 = 210/10    = 21/10 + 1/10 + … +1/10    = 21/10 x 21/10 x … x 21/10 (10 fois)
Rappel Définition de la puissance		a = b.b.b.b.b.b.b.b.b.b = b10
Définition de la racine (inverse de la puissance)
Dans notre cas

* Généralisation possible pour les irrationnels. Voir mon explication via les log et exponentielles

 

Exemple général

Quelle est la valeur de:	22,34
Quelle est la fraction pour 2,34	2,34 = 117 / 50
Retour à notre nombre	22,34 = 2117 / 50
Avec exposant fractionnaire  = racine
Détail Le nombre 5,0630 multiplié 50 fois par lui-même donne ce grand nombre à 35 chiffres qui vaut 2 puissance 117 Nous avons  bien calculé la racine 50e de la puissance 117 de 2 ou autrement-dit la puissance 2,34 = 117/50 du nombre 2.

 

 

 

Curiosités numériques
81 = 91+1, seule solution de AB = CB+1. Autres possibilités K AB = CB + K 1 81   9 1+1 2 64   2 4+2 3 81   3 1+3 3 32   2 2+3 K DAB = CB + K 2 243   3 3+2 2 256   2 6+2 0 343   7 3+0 7 512   2 2+7 1 512   8 2+1

 

 

English corner
Exposant Index, pluriel indices or exponent Mantisse Mantissa Radicaux Surds Virgule flottante Floating-point   The exponent of a number says how many times to use the number in a multiplication. In words: 82 could be called "8 to the power 2" or "8 to the second power", or simply "8 squared". In words: 53 could be called "5 to the third power", "5 to the power 3" or simply "5 cubed".

 

Bilan – Puissance, exposant et indice

Les exposants sont une forme d'écriture des puissances, bien pratique car il est possible de calculer simplement avec les exposants.   Lorsqu'on écrit 10 avec un petit 5 en haut à droite, on lit dix à la puissance 5. Le petit chiffre est l'exposant. Placé en bas à droite, il devient un indice.   Résumé des formes possibles des puissances et de leurs écritures

  

لقراءة المقال الاصلي اضغط هنا